Álgebra: Progresiones aritméticas

Observemos las siguientes sucesiones

Ejemplo 1

1, 5, 9, 14, 18,……..

En la sucesión del ejemplo 1 cualquier término, después del primero, los podemos obtener agregando cuatro unidades al anterior.

Ejemplo 2

8, 5, 2, -1, -4, -7

En la sucesión del ejemplo 2 cualquier término, después del primero, los podemos obtener restándole 3 unidades al anterior.

Ejemplo 3

X+2, X +3/2, X+1, X+1/2, X, X-1/2,.......

En la sucesión del ejemplo 3 cualquier término, después del primero, los podemos obtener restándole ½ de unidades al anterior.

Todas aquellas sucesiones (sumando o restando unidades al anterior) que sus términos se construya de esta forma (sumando o restando unidades al anterior) se denominan progresiones aritméticas.

Progresión aritmética es una sucesión en que cada término, después del primero, se obtiene agregando al término anterior una cantidad constante.

Razón de una progresión aritmética (r). es la cantidad constante que se agrega.

Entonces la razón en el ejemplo 1: r = 4, en el ejemplo 2: r = -3 y en ejemplo 3: r = -1/2

Elementos de una progresión aritmética

Particularidades de una progresión aritmética

1. La progresión aritmética según sus números de términos puede ser Finita o infinita.

Finita: Si el número de términos es limitado, como en el ejemplo 2

Infinita: Si el número de términos es Ilimitado, como en el ejemplo 1 y 3

2. Según el crecimiento de los términos puede ser creciente o decreciente

Creciente: Cuando se cumple que cada término es mayor que el anterior y sucede cuando la razón es positiva. Ejemplo 1

Decreciente: Cuando se cumple que cada término es menor que el anterior y sucede cuando la razón es negativa. Ejemplo 2 y 3

3. El valor de la razón se obtiene con la diferencia de dos términos consecutivos.

En el ejemplo 1: 9 – 5 = 4; r = 4

En el ejemplo 2: (–1) – 2= – 3; r = – 3

En el ejemplo 3: ( X +3/2) – (X+2) = X + 3/2 – X – 2) = 3/2 – 2 = – ½; r = –1/2

4. En la progresión aritmética, cada término, a excepción del primero y último, es igual a la media aritmética del término anterior y el siguiente.

5. Para calcular cualquiera de los términos:

Interpolación de medios aritméticos (MV)

Interpolar un número determinado k de términos entre dos números significa formar una progresión aritmética cuyos extremos sean esos dos números dados.

Por tanto el número total de términos será igual al número detérminos que se interpolan más los dos extremos: n = k + 2

El proceso de interpolación se reduce a determinar la razón r de la progresión y a construir los términos que se piden.