jueves, 25 de febrero de 2010

Progresión geométrica


Observemos las siguientes sucesiones

Ejemplo 1
1, 6, 36, 1296, 7776,……..
En la sucesión del ejemplo 1 cualquier término, después del primero, los podemos obtener multiplicando por 6 al anterior.

Ejemplo 2
8,  -2,  1/2,  -1/8,  1/16
En la sucesión del ejemplo 2 cualquier término, después del primero, los podemos obtener multiplicando por -1/4  al anterior.

Ejemplo 3
En la sucesión del ejemplo 3 cualquier término, después del primero, los podemos obtener multiplicando por  x/y de unidades al anterior.

Ejemplo 4
 27, 9. 3, 1, 1/3, 1/9......

Todas aquellas sucesiones  que sus términos se construya de esta forma (multiplicando una cantidad constante  al anterior) se denominan progresiones geométricas

Progresión geométrica es una sucesión en que cada término, después del primero, se obtiene multiplicando  al término anterior una cantidad constante.

Razón de una progresión geométrica (r) es la cantidad constante que multiplica.
Entonces la razón en el ejemplo 1: r = 6, en el ejemplo 2: r = -1/4, en el ejemplo 3: r = -x/y  y  en ejemplo 4: r = 1/3

Elementos de una progresión geométrica
Son los mismo de la progresión aritmética

Particularidades de una progresión aritmética
1. La progresión geométrica según sus números de términos puede ser Finita o infinita.

Finita: El número de términos es limitado, como el ejemplo 1y 4
Infinita: El número de términos es Ilimitado, como el ejemplo 2 y 3

2. Según el crecimiento de los términos puede ser creciente o decreciente

Creciente: Cuando el primer término es positivo y r > 0. Como el ejemplo 1.
Decreciente: Cuando el primer término es positivo 0 < r < 1. Como el ejemplo 4.
Oscilante: Cuando la razón es negativa (r < 0). quiere decir que sus terminos son alternativamente positivo y negativos. Como en el ejemplo 2 y 3.

3. El valor de la razón se obtiene con lel cociente  de dos términos consecutivos.

En el ejemplo 1: 36/6 = 6; r = 6

En el ejemplo 2: –2/8 = – 1/4; r = – 1/4

En el ejemplo 3:
x/y;   r = x/y


En el ejemplo 4: 9/27= 1/3; r = 1/3

4. En la progresión geométrica, cada término, a excepción del primero y último, es igual a la media geometrica del término anterior y el siguiente.

5. Para calcular cualquiera de los términos:



Interpolación de medios Geométricos (MI)

Interpolar un número determinado k de términos entre dos números significa formar una progresión geométrica PI cuyos extremos sean esos dos números dados.
Igual que en la progresión aritmética el número total de términos será igual al número detérminos que se interpolan más los dos extremos: n = k + 2
El proceso de interpolación se reduce a determinar la razón r de la progresión y a construir los términos que se piden.



Suma de los términos de una progresión geométrica finita

Existe una relación matemática que nos permite calcular la suma de los términos sin necesidad de construir la progresión geométrica  previamente.
La ecuación para sumar los términos finitos de una progresión geométrica es




Hacer clic en el siguiente link para realizar actividad interactiva
http://www.ematematicas.net/pgeo.php?a=4

Progresiones aritméticas




Observemos las siguientes sucesiones

Ejemplo 1
1, 5, 9, 14, 18,……..
En la sucesión del ejemplo 1 cualquier término, después del primero, los podemos obtener agregando cuatro unidades al anterior.

Ejemplo 2
8, 5, 2, -1, -4, -7
En la sucesión del ejemplo 2 cualquier término, después del primero, los podemos obtener restándole 3 unidades al anterior.

Ejemplo 3
X+2,  X +3/2,  X+1,  X+1/2,  X,   X-1/2,.......
En la sucesión del ejemplo 3 cualquier término, después del primero, los podemos obtener restándole ½ de unidades al anterior.

Todas aquellas sucesiones (sumando o restando unidades al anterior) que sus términos se construya de esta forma (sumando o restando unidades al anterior) se denominan progresiones aritméticas.

Progresión aritmética es una sucesión en que cada término, después del primero, se obtiene agregando al término anterior una cantidad constante.

Razón de una progresión aritmética (r). es la cantidad constante que se agrega.
Entonces la razón en el ejemplo 1: r = 4, en el ejemplo 2: r = -3 y en ejemplo 3: r = -1/2

Elementos de una progresión aritmética

Particularidades de una progresión aritmética
1. La progresión aritmética según sus números de términos puede ser Finita o infinita.

Finita: Si el número de términos es limitado, como en el ejemplo 2

Infinita: Si el número de términos es Ilimitado, como en el ejemplo 1 y 3

2. Según el crecimiento de los términos puede ser creciente o decreciente

Creciente: Cuando se cumple que cada término es mayor que el anterior y sucede cuando la razón es positiva. Ejemplo 1

Decreciente: Cuando se cumple que cada término es menor que el anterior y sucede cuando la razón es negativa. Ejemplo 2 y 3

3. El valor de la razón se obtiene con la diferencia de dos términos consecutivos.
 

En el ejemplo 1: 9 – 5 = 4; r = 4

En el ejemplo 2: (–1) – 2= – 3; r = – 3

En el ejemplo 3: ( X +3/2) – (X+2) = X + 3/2 – X – 2) = 3/2 – 2 = – ½; r = –1/2

4. En la progresión aritmética, cada término, a excepción del primero y último, es igual a la media aritmética del término anterior y el siguiente.

5. Para calcular cualquiera de los términos:


Interpolación de medios aritméticos (MV)
Interpolar un número determinado k de términos entre dos números significa formar una progresión aritmética cuyos extremos sean esos dos números dados.
Por tanto el número total de términos será igual al número detérminos que se interpolan más los dos extremos: n = k + 2
El proceso de interpolación se reduce a determinar la razón r de la progresión y a construir los términos que se piden.

Suma de los términos de una progresión aritmética finita
Existe una relación matemática que nos permite calcular la suma de los términos sin necesidad de contruir la progresión previamente.

La ecuación para sumar los términos finitos de una progresión aritmética es


Hacer clic en el siguiente link para realizar actividad interactiva


martes, 23 de febrero de 2010

Sucesiones


La sucesión:Serie de elementos que se suceden unos a otros, ya sea en el espacio, en el tiempo o en un orden.




Una sucesión se define como una aplicación definida sobre los números naturales (1,2,3,...). Ósea una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados que se suceden siguiendo alguna lógica.

 Ejemplo de sucesión
1, 3, 5, 7………. La sucesión representa a los números impares.

Se puede expresar, para n definido en los naturales
Con esta resumida expresión nos aventajas porque podemos expresar cualquier cantidad impar. Nos permite ahorrar cálculos con una abreviada expresión.

Otro ejemplo de sucesión  1, 3, 7, 13, 21, 43...          Los términos de la sucesión se representan

Existen dos tipos especiales  de sucesiones que, por su forma de construcción se llaman progresiones.

Progresiones
  "Sucesión de números o términos algebraicos entre los cuales hay una ley de formación constante".

Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

sábado, 20 de febrero de 2010

Estudio de Gráficos de Funciones

Representación gráfica de una función
1. Función Constante
2. Función Identidad
3. Función Valor Absoluto
4. Función Parte Entera
5. Función Afín
6. Función Cuadrática
7. Función Exponencial
8. Función Logarítmica

Gráfica de una función
“ si f es una función, la gráfica de la función es el conjunto de puntos en R² donde (x,y) es un par ordenado de f”

La gráfica de una función puede se acotada por una recta vertical en no más de un punto.
La curva que representa una función puede ser
 Creciente o Decreciente

Función creciente: Una función es creciente cuando en un intervalo del dominio se toma valor mayor de la variable x y le corresponde un valor mayor de la función f.

Función decreciente: Una función es decreciente cuando en un intervalo del dominio se toma valor mayor de la variable x y le corresponde un valor menor de la función f.
Representación gráfica de una función

1. Función Constante:

2. Función Identidad:


3. Función Valor Absoluto:




4. Función Parte Entera:



5. Función Afín:


6. Función Cuadrática:



9. Función Exponencial:

Propiedades de la función exponencial

9. Función Logarítmica:

Propiedades de la función logarítmica


  • La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

  •  Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí


lunes, 15 de febrero de 2010

Álgebra de las funciones

  
Dominio de una función
El dominio son los valores que puede tomar x de una función dada.
Existen dos restricciones importantes:
1. Dividir entre cero
2. Raíz par de número negativo
Algebra de las funciones
Se pueden realizar operaciones algebraicas con las funciones
 

Función compuesta
Es la función de una función” y se denota

Funciones inversa
y g son inversas si cumplen con:
 


Función Par
f (x) es par si cumple con

Función Impar
f (x) es impar si cumple con