Álgebra: Progresión geométrica

Observemos las siguientes sucesiones

Ejemplo 1

1, 6, 36, 1296, 7776,……..

En la sucesión del ejemplo 1 cualquier término, después del primero, los podemos obtener multiplicando por 6 al anterior.

Ejemplo 2

8, -2, 1/2, -1/8, 1/16

En la sucesión del ejemplo 2 cualquier término, después del primero, los podemos obtener multiplicando por -1/4 al anterior.

Ejemplo 3

En la sucesión del ejemplo 3 cualquier término, después del primero, los podemos obtener multiplicando por x/y de unidades al anterior.

Ejemplo 4

27, 9. 3, 1, 1/3, 1/9......

Todas aquellas sucesiones que sus términos se construya de esta forma (multiplicando una cantidad constante al anterior) se denominan progresiones geométricas

Progresión geométrica es una sucesión en que cada término, después del primero, se obtiene multiplicando al término anterior una cantidad constante.

Razón de una progresión geométrica (r) es la cantidad constante que multiplica.

Entonces la razón en el ejemplo 1: r = 6, en el ejemplo 2: r = -1/4, en el ejemplo 3: r = -x/y y en ejemplo 4: r = 1/3

Elementos de una progresión geométrica

Son los mismo de la progresión aritmética

Particularidades de una progresión aritmética

1. La progresión geométrica según sus números de términos puede ser Finita o infinita.

Finita: El número de términos es limitado, como el ejemplo 1y 4

Infinita: El número de términos es Ilimitado, como el ejemplo 2 y 3

2. Según el crecimiento de los términos puede ser creciente o decreciente

Creciente: Cuando el primer término es positivo y r > 0. Como el ejemplo 1.
Decreciente: Cuando el primer término es positivo 0 < r < 1. Como el ejemplo 4.

Oscilante: Cuando la razón es negativa (r < 0). quiere decir que sus terminos son alternativamente positivo y negativos. Como en el ejemplo 2 y 3.

3. El valor de la razón se obtiene con lel cociente de dos términos consecutivos.

En el ejemplo 1: 36/6 = 6; r = 6

En el ejemplo 2: –2/8 = – 1/4; r = – 1/4

En el ejemplo 3:

= x/y; r = x/y

En el ejemplo 4: 9/27= 1/3; r = 1/3

4. En la progresión geométrica, cada término, a excepción del primero y último, es igual a la media geometrica del término anterior y el siguiente.

5. Para calcular cualquiera de los términos:

Interpolación de medios Geométricos (MI)

Interpolar un número determinado k de términos entre dos números significa formar una progresión geométrica PI cuyos extremos sean esos dos números dados.

Igual que en la progresión aritmética el número total de términos será igual al número detérminos que se interpolan más los dos extremos: n = k + 2

El proceso de interpolación se reduce a determinar la razón r de la progresión y a construir los términos que se piden.