"El que se produce al extraer la raíz cuadrada de un número negativo. La unidad imaginaria, √⁻¹, se representa por el símbolo i"
Hay ecuaciones cuadráticas que carece de soluciones en el campo de los números reales, como por ejemplo:
Sabemos que no existe solución para la raíz cuadrada de un número negativo, ya que no existe un número real que al elevar al cuadrado dé negativo.
Para ello introducimos un nuevo grupo de números llamado el conjunto de los números complejos en el que se encontrará solución para ese tipo de ecuación.
Unidad Imaginaria
La expresión √⁻¹ la definimos com la unidad imaginaria y se la designa la letra i
Entonces i es aquella cantidad que elevada a un cuadrado da -1
Ahora todas las raices pares de números negativos pueden expresarse en término de la unidad imaginariai
Un vector m es linealmente dependiente de otro vectorasi existe un número real α tal que:
Dos vectores linealmente dependiente tienen la misma dirección
Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.
2. Dos vectores son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3. Dos vectores libres son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.
Linealmente Independiente
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
Ejemplo:Determinar si los siguentes vectores son linealmente dependiente
Para que los vectores sean linealmente dependiente debe cumplirse que:
Multiplicando el miembro de la derecha
Para que los dos vectores de la igualdad sean equivalentes deben ser iguales las respectivas componentes.
En las tres igualdades se obtiene el mismo valor:
Se concluyeque los vectores son linealmente dependiente
Si no hibiésemos encontrado el número real que satisfaciera simultáneamente las tres igualdades del sistema, hubiéramos considerado que los vectroes eran linealmente independiente.
Existen tres tipos de producto en los vectores, y en cada uno de ellos da un tipo de magnitud vectorial o escalar
Producto de un vector por un escalar
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver gráfico).
Partiendo de un escalar n y de un vector a , el producto den por a es na , es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:
Si lo multiplicamos por el escalar n:
Esto es:
Representando el vector como combinación lineal de los vectores unitarios:
multiplicándolo por un escalar n:
esto es:
Hagamos un ejemplo con valores numéricos, partimos del vector:
multiplicamos el vector por 2,5:
esto es:
haciendo la operaciones
"Como se ha observado el producto de un escalar por un vector da como resulatado otro vector"
Propiedades de Producto de un vector por un escalar
El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:
Siendo u y v vectores y k un escalar
1.- Conmutativa: k • v = v • k.
2.- Distributiva: k (v + u) = (k • v) + (k • u).
3.- Elemento Neutro: 1 • v = v.
4.- Elemento Simétrico: -1 • v = - v.
Producto Escalar de dos Vectores
La multiplicación da como resultado un número real , no un vector, por lo que esta operación se denomina producto escalar. Al igual que la suma, también puede realizarse de forma matemática y de forma gráfica.
Conociendo el ángulo entre los vectores y el módulo de cada vector tenemos que el producto de escalar de los vectores analíticamente se cálcula:
Conociendo las componentes de los vectores tenemos que el producto de escalar de los vectores en forma algebraica se cálcula:
Vemos que:
Propiedades del Producto Escalar
1. El producto escalar del vector nulo por otro vector cualquiera vale 0.
2. Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es 0.
3. Si B (a,b) es una base ortonormal, se cumple:
4. Propiedad conmutativa: Si a y b son dos vectores cualesquiera, se verifica:
6. El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de un módulo:
“Esta propiedad nos permite calcular el módulo de un vector conociendo el producto escalar del vector por sí mismo”
De las propiedades tenemos que para los vectores unitarios:
Producto Vectorial de dos vectores
El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b.
La expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
Componentes del producto vectorial de dos vectores
Dirección y sentido del vector resultante del producto vectorial de dos vectores
Si determinamos el sentido con la regla de la mano derecha, colocamos los dedos índice, medio, anular y meñique en el sentido del primer factor (en nuestro ejemplo el vector a) y cerramos la mano rotando los dedos antes mencionados el ángulo a. El dedo pulgar queda indicando el sentido del seudo-vector c.
Si aplicamos la regla del tornillo, ubicamos un tornillo perpendicular al plano determinado por los dos factores, y lo giramos en el sentido que se debe rotar el primer factor sobre el segundo para que gire el ángulo a. El sentido que avanza el tornillo, es el sentido del seudo-vector producto c.
Propiedades del producto vectorial de dos vectores
1. Anticonmutatividad
2. Para vectores no nulos. Si dos vectores son paralelos su producto vectorial da igual a cero.
3. Distributiva con respecto a la suma
4. La regla de la expulsión.
5. Identidad de Jacobi.
6. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores a y b .