Progresión geométrica (Parte 2)

Producto de los términos de una progresión Geométrica

Sea la progresión

 

Se pueden escribir sus términos de la forma siguiente:

El Producto de todos los términos

Si invertimos los términos

Multiplicando miembro a miembro

Como el número de factores del segundo miembro es n, podemos simplificar así la ecuación resultante

De donde el producto de los términos de una progresión geométrica finita, queda:

Determinación del signo del producto de una progresión geométrica finita

Para determinar el signo hay que tomar en cuenta las siguientes consideraciones.

1. Si PT es una progresión de términos positivos, su producto, indiferentemente al número de términos, es positivo.

2. Si PT es una progresión de términos negativos, su producto producto podrá ser positivo o negativo dependiendo si es par o impar  el número de términos.

Si n es par entonces el producto es positivo

Si n es impar entonces el producto es negativo

3. Si PT es una progresión de términos oscilantes o alternada, para determinar el signo es necesario considerar en cada caso cuántos son los términos positivos y cuantos los negativo

Ejemplo 1:

Determinar el producto de los términos de la siguiente progresión:  PT: 1/32, 1/16, 1/8……, 64
1. Determinamos el valor de la razón r:

2. Determinamos elnúmeros de términos sustituyendo los datos conocidos en la siguiente relación:

3. Con todos los datos podemos calcular el producto aplicando la ecuación:

Suma de los términos de una Progresión Geométrica Infinita Decreciente

 Sabemos calcular la suma de los términos de una progresión geométrica (creciente o decreciente ) finita.

Con esa misma relación se puede calcular una progresión geométrica infinita decreciente, que el valor de la razón es menor en valor absoluto que 1.

Tenemos que para una progresión geométrica que conocemos el número exacto de términos, se calcula con la ecuación.

 

el comportamiento de la expresión:,

Por ejemplo, supongamos que r = 1/10

 

Claramente se ve que a medida que aumenta el número de términos la expresión se va haciendo más pequeña. Si n es infinitamente grande la expresión se hara tan pequeña casi que cero.

 Matemáticamente se dice así

 

 Entonces la relación de la suma de términos de una progresión geometrica queda:

 

Ejemplo 2:

Determinar la suma de la siguiente progresión: PT: 32, 24, 18,.............

1. Hallamos la razón r:     r =24/32 = 3/4

2. Aplicamos la relación:

Ejemplo 3:

En un triángulo equilatero de lado "a" se divide cada lado en tres partes iguales . La división del medio de cada lado, antes de ser suprimida, sirve de base para la construción de un nuevo triangulo. En cada uno de los lados de cada punta se efectúa el mismo proceso, como se indica a continuación. El proceso se va repitiendo indefinidamente.

 Determinar el área total del poligono que se obtiene