Suma de Vectores

Suma de vectores

La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.

• Procedimiento Gráfico

Método del paralelogramo

Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores.

Método del polígono

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, es decir, el extremo inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos

• Procedimiento analítico o algebraico


El resultado de la suma es:

  Ordenando los componentes:

Pongamos un ejemplo numérico:

El resultado: 

  

Agrupando términos: 

Resta de vectores

Observaciones:

1. Dado un vector a, su opuesto - a tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario al de a, Basta con ver la construcción de - a.

2. Dados dos vectores a y b, existe un único vector x que verifica a = x + b.

Si existe tal vector, sería: a = b + x → (- b) + a = (- b) + ( b + x)

Por la propiedad asociativa, (- b) + ( b + x) = [ (- b) + b] + x = 0 + x = x

Así, el único vector que puede verificar tal propiedad es el vector
 x = (- b) + a.

Falta ver que efectivamente la verifica:

b + x = b + [ (- b) + a] = [b + (- b)] + a = 0 + a = a, que es la igualdad buscada.

El vector (-b) + a recibe el nombre de diferencia entre los vectores a y b, y suele representarse por a - b.

• La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:

1. Conmutativa a + b = b + a

2. Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)

3. Elemento neutro o vector 0 a + 0 = 0 + a = a

4. Elemento simétrico u opuesto a' a + a' = a' + a = 0 siendo a' = -a