Existen tres tipos de producto en los vectores, y en cada uno de ellos da un tipo de magnitud vectorial o escalar
Producto de un vector por un escalar
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver gráfico).
Partiendo de un escalar n y de un vector a , el producto den por a es na , es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:
Si lo multiplicamos por el escalar n:
Esto es:
Representando el vector como combinación lineal de los vectores unitarios:
multiplicándolo por un escalar n:
esto es:
Hagamos un ejemplo con valores numéricos, partimos del vector:
multiplicamos el vector por 2,5:
esto es:
haciendo la operaciones
"Como se ha observado el producto de un escalar por un vector da como resulatado otro vector"
Propiedades de Producto de un vector por un escalar
El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:
Siendo u y v vectores y k un escalar
1.- Conmutativa: k • v = v • k.
2.- Distributiva: k (v + u) = (k • v) + (k • u).
3.- Elemento Neutro: 1 • v = v.
4.- Elemento Simétrico: -1 • v = - v.
Producto Escalar de dos Vectores
La multiplicación da como resultado un número real , no un vector, por lo que esta operación se denomina producto escalar. Al igual que la suma, también puede realizarse de forma matemática y de forma gráfica.
Conociendo el ángulo entre los vectores y el módulo de cada vector tenemos que el producto de escalar de los vectores analíticamente se cálcula:
Conociendo las componentes de los vectores tenemos que el producto de escalar de los vectores en forma algebraica se cálcula:
Vemos que:
Propiedades del Producto Escalar
1. El producto escalar del vector nulo por otro vector cualquiera vale 0.
2. Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es 0.
3. Si B (a,b) es una base ortonormal, se cumple:
4. Propiedad conmutativa: Si a y b son dos vectores cualesquiera, se verifica:
6. El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de un módulo:
“Esta propiedad nos permite calcular el módulo de un vector conociendo el producto escalar del vector por sí mismo”
De las propiedades tenemos que para los vectores unitarios:
Producto Vectorial de dos vectores
El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b.
La expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
Componentes del producto vectorial de dos vectores
Dirección y sentido del vector resultante del producto vectorial de dos vectores
Si determinamos el sentido con la regla de la mano derecha, colocamos los dedos índice, medio, anular y meñique en el sentido del primer factor (en nuestro ejemplo el vector a) y cerramos la mano rotando los dedos antes mencionados el ángulo a. El dedo pulgar queda indicando el sentido del seudo-vector c.
Si aplicamos la regla del tornillo, ubicamos un tornillo perpendicular al plano determinado por los dos factores, y lo giramos en el sentido que se debe rotar el primer factor sobre el segundo para que gire el ángulo a. El sentido que avanza el tornillo, es el sentido del seudo-vector producto c.
Propiedades del producto vectorial de dos vectores
1. Anticonmutatividad
2. Para vectores no nulos. Si dos vectores son paralelos su producto vectorial da igual a cero.
3. Distributiva con respecto a la suma
4. La regla de la expulsión.
5. Identidad de Jacobi.
6. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores a y b .
La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.
• Procedimiento Gráfico
Método del paralelogramo
Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores.
Método del polígono
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, es decir, el extremo inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos
• Procedimiento analítico o algebraico
El resultado de la suma es:
Ordenando los componentes:
Pongamos un ejemplo numérico:
El resultado:
Agrupando términos:
Resta de vectores
Observaciones:
1. Dado un vector a, su opuesto - a tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario al de a, Basta con ver la construcción de - a.
2. Dados dos vectores a y b, existe un único vector x que verifica a = x + b.
Si existe tal vector, sería: a = b + x → (- b) + a = (- b) + ( b + x)
Por la propiedad asociativa, (- b) + ( b + x) = [ (- b) + b] + x = 0 + x = x
Así, el único vector que puede verificar tal propiedad es el vector
x = (- b) + a.
Falta ver que efectivamente la verifica:
b + x = b + [ (- b) + a] = [b + (- b)] + a = 0 + a = a, que es la igualdad buscada.
El vector (-b) + a recibe el nombre de diferencia entre los vectores a y b, y suele representarse por a - b.
• La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:
1. Conmutativa a + b = b + a
2. Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)
3. Elemento neutro o vector 0 a + 0 = 0 + a = a
4. Elemento simétrico u opuesto a' a + a' = a' + a = 0 siendo a' = -a
Los vectores es uno de los conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En la distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican.
A estas magnitudes vectoriales se representa por un vector.
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
• Origen o también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
• Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
• Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene
• Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios.
Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.
Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .
Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado .
Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .
Vectores unitarios y componentes de un vector
Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.
Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.
De ese modo,
Los escalares α, β, γ se denominan componentes del vector y se representan por:
Los vectores
Son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k.
También puede representarse de la siguiente forma:
Módulo de un vector
Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo.
Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:
Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.
Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:
Tipos de vectores
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:
• Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u origen- fijado en ningún punto en particular.
• Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algún punto en particular.
• Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales módulos, direcciones y sentidos.
• Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actúan sobre una misma recta.
• Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial -u origen-.
• Vectores unitarios: vectores de módulo igual a uno.
• Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y dirección (también vectores anti - paralelos)
• Vectores coplanales: vectores que se encuentran dentro del mismo plano
