La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.
• Procedimiento Gráfico
Método del paralelogramo
Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores.
Método del polígono
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, es decir, el extremo inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos
• Procedimiento analítico o algebraico
El resultado de la suma es:
Ordenando los componentes:
Pongamos un ejemplo numérico:
El resultado:
Agrupando términos:
Resta de vectores
Observaciones:
1. Dado un vector a, su opuesto - a tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario al de a, Basta con ver la construcción de - a.
2. Dados dos vectores a y b, existe un único vector x que verifica a = x + b.
Si existe tal vector, sería: a = b + x → (- b) + a = (- b) + ( b + x)
Por la propiedad asociativa, (- b) + ( b + x) = [ (- b) + b] + x = 0 + x = x
Así, el único vector que puede verificar tal propiedad es el vector
x = (- b) + a.
Falta ver que efectivamente la verifica:
b + x = b + [ (- b) + a] = [b + (- b)] + a = 0 + a = a, que es la igualdad buscada.
El vector (-b) + a recibe el nombre de diferencia entre los vectores a y b, y suele representarse por a - b.
• La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:
1. Conmutativa a + b = b + a
2. Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)
3. Elemento neutro o vector 0 a + 0 = 0 + a = a
4. Elemento simétrico u opuesto a' a + a' = a' + a = 0 siendo a' = -a
Los vectores es uno de los conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En la distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican.
A estas magnitudes vectoriales se representa por un vector.
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
• Origen o también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
• Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
• Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene
• Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios.
Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.
Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .
Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado .
Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .
Vectores unitarios y componentes de un vector
Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.
Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.
De ese modo,
Los escalares α, β, γ se denominan componentes del vector y se representan por:
Los vectores
Son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k.
También puede representarse de la siguiente forma:
Módulo de un vector
Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo.
Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:
Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.
Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:
Tipos de vectores
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:
• Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u origen- fijado en ningún punto en particular.
• Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algún punto en particular.
• Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales módulos, direcciones y sentidos.
• Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actúan sobre una misma recta.
• Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial -u origen-.
• Vectores unitarios: vectores de módulo igual a uno.
• Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y dirección (también vectores anti - paralelos)
• Vectores coplanales: vectores que se encuentran dentro del mismo plano
Producto de los términos de una progresión Geométrica
Sea la progresión
Se pueden escribir sus términos de la forma siguiente:
El Producto de todos los términos
Si invertimos los términos
Multiplicando miembro a miembro
Como el número de factores del segundo miembro es n, podemos simplificar así la ecuación resultante
De donde el producto de los términos de una progresión geométrica finita, queda:
Determinación del signo del producto de una progresión geométrica finita
Para determinar el signo hay que tomar en cuenta las siguientes consideraciones.
1. Si PT es una progresión de términos positivos, su producto, indiferentemente al número de términos, es positivo.
2. Si PT es una progresión de términos negativos, su producto producto podrá ser positivo o negativo dependiendo si es par o impar el número de términos.
Si n es par entonces el producto es positivo
Si n es impar entonces el producto es negativo
3.Si PT es una progresión de términos oscilantes o alternada, para determinar el signo es necesario considerar en cada caso cuántos son los términos positivos y cuantos los negativo
Ejemplo 1:
Determinar el producto de los términos de la siguiente progresión: PT: 1/32, 1/16, 1/8……, 64
1. Determinamos el valor de la razón r:
2. Determinamos elnúmeros de términos sustituyendo los datos conocidos en la siguiente relación:
3. Con todos los datos podemos calcular el producto aplicando la ecuación:
Suma de los términos de una Progresión Geométrica Infinita Decreciente
Sabemos calcular la suma de los términos de una progresión geométrica (creciente o decreciente ) finita.
Con esa misma relación se puede calcular una progresión geométrica infinita decreciente, que el valor de la razón es menor en valor absoluto que 1.
Tenemos que para una progresión geométrica que conocemos el número exacto de términos, se calcula con la ecuación.
el comportamiento de la expresión:,
Por ejemplo, supongamos que r = 1/10
Claramente se ve que a medida que aumenta el número de términos la expresión se va haciendo más pequeña. Si n es infinitamente grande la expresión se hara tan pequeña casi que cero.
Matemáticamente se dice así
Entonces la relación de la suma de términos de una progresión geometrica queda:
Ejemplo 2:
Determinar la suma de la siguiente progresión: PT: 32, 24, 18,.............
1. Hallamos la razón r: r =24/32 = 3/4
2. Aplicamos la relación:
Ejemplo 3:
En un triángulo equilatero de lado "a" se divide cada lado en tres partes iguales . La división del medio de cada lado, antes de ser suprimida, sirve de base para la construción de un nuevo triangulo. En cada uno de los lados de cada punta se efectúa el mismo proceso, como se indica a continuación. El proceso se va repitiendo indefinidamente.
Determinar el área total del poligono que se obtiene
En la sucesión del ejemplo 1 cualquier término, después del primero, los podemos obtener multiplicando por 6 al anterior.
Ejemplo 2
8, -2, 1/2, -1/8, 1/16
En la sucesión del ejemplo 2 cualquier término, después del primero, los podemos obtener multiplicando por -1/4 al anterior.
Ejemplo 3
En la sucesión del ejemplo 3 cualquier término, después del primero, los podemos obtener multiplicando por x/y de unidades al anterior.
Ejemplo 4
27, 9. 3, 1, 1/3, 1/9......
Todas aquellas sucesiones que sus términos se construya de esta forma (multiplicando una cantidad constante al anterior) se denominan progresiones geométricas
Progresión geométricaes una sucesión en que cada término, después del primero, se obtiene multiplicando al término anterior una cantidad constante.
Razón de una progresión geométrica (r) es la cantidad constante que multiplica.
Entonces la razón en el ejemplo 1: r = 6, en el ejemplo 2: r = -1/4, en el ejemplo 3: r = -x/y y en ejemplo 4: r = 1/3
Elementos de una progresión geométrica
Son los mismo de la progresión aritmética
Particularidades de una progresión aritmética
1. La progresión geométrica según sus números de términos puede ser Finita o infinita.
Finita: El número de términos es limitado, como el ejemplo 1y 4
Infinita: El número de términos es Ilimitado, como el ejemplo 2 y 3
2. Según el crecimiento de los términos puede ser creciente o decreciente
Creciente: Cuando el primer término es positivo y r > 0. Como el ejemplo 1. Decreciente: Cuando el primer término es positivo 0 < r < 1. Como el ejemplo 4.
Oscilante: Cuando la razón es negativa (r < 0). quiere decir que sus terminos son alternativamente positivo y negativos. Como en el ejemplo 2 y 3.
3. El valor de la razón se obtiene con lel cociente de dos términos consecutivos.
En el ejemplo 1: 36/6 = 6; r = 6
En el ejemplo 2: –2/8 = – 1/4; r = – 1/4
En el ejemplo 3:
= x/y; r = x/y
En el ejemplo 4: 9/27= 1/3; r = 1/3
4. En la progresión geométrica, cada término, a excepción del primero y último, es igual a la media geometrica del término anterior y el siguiente.
5. Para calcular cualquiera de los términos:
Interpolación de medios Geométricos (MI)
Interpolar un número determinado k de términos entre dos números significa formar una progresión geométrica PI cuyos extremos sean esos dos números dados.
Igual que en la progresión aritmética el número total de términos será igual al número detérminos que se interpolan más los dos extremos: n = k + 2
El proceso de interpolación se reduce a determinar la razón r de la progresión y a construir los términos que se piden.
Suma de los términos de una progresión geométrica finita
Existe una relación matemática que nos permite calcular la suma de los términos sin necesidad de construir la progresión geométrica previamente.
La ecuación para sumar los términos finitos de una progresión geométrica es
Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores.
