Introducción a Vectores

Los vectores es uno de los conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En la  distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican.

 

A estas magnitudes vectoriales se representa por un vector.

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

• Origen o también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

• Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

• Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene

• Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios.

Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado .

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Vectores unitarios y componentes de un vector

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.

Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.

De ese modo,

Los escalares α, β, γ se denominan componentes del vector y se representan por:

Los vectores

 

Son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k.

También puede representarse de la siguiente forma:

Módulo de un vector

Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo.

Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:

 Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.

Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:

 

y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:

  

Tipos de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

• Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u origen- fijado en ningún punto en particular.

• Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algún punto en particular.

• Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales módulos, direcciones y sentidos.

• Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actúan sobre una misma recta.

• Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial -u origen-.

• Vectores unitarios: vectores de módulo igual a uno.

• Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y dirección (también vectores anti - paralelos)

• Vectores coplanales: vectores que se encuentran dentro del mismo plano

Para completar ir a la página:

http://manuales.gfc.edu.co/descartes/Geometria/vectores_rectas_plano_alm/index/MODULO.htm

Progresión geométrica (Parte 2)

Producto de los términos de una progresión Geométrica

Sea la progresión

 

Se pueden escribir sus términos de la forma siguiente:

El Producto de todos los términos

Si invertimos los términos

Multiplicando miembro a miembro

Como el número de factores del segundo miembro es n, podemos simplificar así la ecuación resultante

De donde el producto de los términos de una progresión geométrica finita, queda:

Determinación del signo del producto de una progresión geométrica finita

Para determinar el signo hay que tomar en cuenta las siguientes consideraciones.

1. Si PT es una progresión de términos positivos, su producto, indiferentemente al número de términos, es positivo.

2. Si PT es una progresión de términos negativos, su producto producto podrá ser positivo o negativo dependiendo si es par o impar  el número de términos.

Si n es par entonces el producto es positivo

Si n es impar entonces el producto es negativo

3. Si PT es una progresión de términos oscilantes o alternada, para determinar el signo es necesario considerar en cada caso cuántos son los términos positivos y cuantos los negativo

Ejemplo 1:

Determinar el producto de los términos de la siguiente progresión:  PT: 1/32, 1/16, 1/8……, 64
1. Determinamos el valor de la razón r:

2. Determinamos elnúmeros de términos sustituyendo los datos conocidos en la siguiente relación:

3. Con todos los datos podemos calcular el producto aplicando la ecuación:

Suma de los términos de una Progresión Geométrica Infinita Decreciente

 Sabemos calcular la suma de los términos de una progresión geométrica (creciente o decreciente ) finita.

Con esa misma relación se puede calcular una progresión geométrica infinita decreciente, que el valor de la razón es menor en valor absoluto que 1.

Tenemos que para una progresión geométrica que conocemos el número exacto de términos, se calcula con la ecuación.

 

el comportamiento de la expresión:,

Por ejemplo, supongamos que r = 1/10

 

Claramente se ve que a medida que aumenta el número de términos la expresión se va haciendo más pequeña. Si n es infinitamente grande la expresión se hara tan pequeña casi que cero.

 Matemáticamente se dice así

 

 Entonces la relación de la suma de términos de una progresión geometrica queda:

 

Ejemplo 2:

Determinar la suma de la siguiente progresión: PT: 32, 24, 18,.............

1. Hallamos la razón r:     r =24/32 = 3/4

2. Aplicamos la relación:

Ejemplo 3:

En un triángulo equilatero de lado "a" se divide cada lado en tres partes iguales . La división del medio de cada lado, antes de ser suprimida, sirve de base para la construción de un nuevo triangulo. En cada uno de los lados de cada punta se efectúa el mismo proceso, como se indica a continuación. El proceso se va repitiendo indefinidamente.

 Determinar el área total del poligono que se obtiene